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线性代数

1. 特征值与特征向量

  • 对于n阶方阵$A$存在一个一个$\lambda$使得:$Ax=\lambda x$成立,则称$\lambda$为矩阵$A$的特征值,$x$称为$A$的特征向量。
  • n阶矩阵的$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2….\lambda_n$,有      

    (1).$\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=tr(A)$, $tr(A)$称为矩阵的迹。
    (2). $\lambda_1\lambda_2…\lambda_n=|A|$

2. 相似矩阵

  • $A ,B$都是$n$阶方阵,存在一个可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP=B$成立,则称$A,B$ 为相似矩阵。

3. 正交矩阵

  • $n$阶矩阵满足
    $A^TA=E$那么$A$被称为正交矩阵。
  • $|A|=1$
  • $A$的行向量或列向量两两正交

4. 矩阵合同

  • 如果存在$n$阶可逆矩阵$C$使得$C^TAC=B$,则称$A$与$B$合同。

5. 二次型及其有定性

  • 实二次型$f=x^TAx$
    (1). 若$f>0$, 称二次型$f$为正定二次型,$A$为正定矩阵
    (2). 若$f<0$, 称二次型$f$为负定二次型,$A$为负定矩阵
    (3). 若$f\geqslant0$, 称二次型$f$为半正定二次型,$A$为半正定矩阵