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连续型随机变量的函数分布

$Y=g(X)$连续型随机变量的概率密度:

二维随机变量

$二维随机变量的分布函数:F(x,y)=P\lbrace(X\le x)\cap(Y\le y)\rbrace。$

$P\{x_1<X<x_2,y_1<Y<y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)。$

$若f(x,y)在点(x,y)连续,则有$

条件概率密度:

$卷积公式记为f_Xf_Y,即f_Xf_Y=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx$

期望与方差

$设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数).$

$X的方差D(x),Var(x),即$

统计量

(一)$\chi^2分布$
设$X_1,X_2,……,X_n是来自总体N(0,1)的样本,则统计量$

$服从自由度为n的\chi^2分布,记为\chi^2\sim\chi^2(n)。$

(二)t分布
$设X\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n),且X,Y相互独立,则称随机变量$

$服从自由度为n的t分布,记为t\sim t(n)。$

(三)F分布
$设U\sim\chi^2(n_1),V\sim\chi^2(n_2),且U,V相互独立,则称随机变量$

$服从自由度为(n_1,n_2)的F分布,记为F\sim F(n_1,n_2)。$

(四)正态总体的样本均值与样本方差的分布

定理一 $设X_1,X_2,……,X_n是来自正态总体N(\mu,\sigma^2)的样本,\overline{X}是平均值则统计量。$

$设X_1,X_2,……,X_n是来自正态总体N(\mu,\sigma^2)的样本,\overline{X},S^2分别是样本均值和样本方差,则有$